阿喀琉斯的速度为乌龟的十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，但只要乌龟不停向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！——芝诺悖论

数学教科书上喜欢用微积分中的无穷级数来解释芝诺悖论：

即，芝诺悖论混淆了“现实时间”与“芝诺时间”，“芝诺时间”虽然有无限多段但却是在不断变小的，而这不断变小的无穷多个数相加，会使该时间级数最终收敛于一个常量，所以运动不会无限进行下去，故而悖论中描述的那种违背常识的无限运动是不存在的。

(相关资料图)

但这种解释始终无法令我满意。在跑步竞赛的最后，现实世界的阿基琉斯纵身一跃，追上了乌龟，那么是什么让微积分中的级数在经过无穷多个数相加后，纵身一跃收敛于一个常数呢？谁又来保证现实的物理时间具有和微积分中的级数相同的可收敛性质呢？微积分究竟比我们的常识和直觉多出了什么东西，以至于它可以用来解释用常识和直觉无法理解的芝诺悖论？

这些全都源自我在中学时一直抱有的一个疑问：为什么微积分能如此恰如其分地描述现实的物理现象？

后来经过对微积分的学习我终于找到了那个“纵身一跃“的跳板，那个“多出来的东西”——无穷小量。

以下是我的观点：微积分能恰如其分的描述宏观物理现象，源自一个巧合（或者说是源自对这个“巧合”的正确描述），即物理世界中的时间、空间、物质都是不连续的。这种不连续性使得微积分具有一个难以为常识所理解的定理，即一个常数加上一个无穷小量还是等于这个常数。

按照常识所理解的，对象A加上另一个对象B应该是一个新的对象A+B（除非另一个对象是数学意义上的0，但无穷小量并不严格等同于0*），但这个难以被常识所理解的定理在微积分中却是严格正确的。这是因为时间、空间、物质在极其微小的尺度上都是不连续的！正是这种不连续性使得我们在用微积分描述宏观尺度上的物理运动时，冗余出来的无穷小量被“抹平了”，即无穷小量恰好落在了微小尺度上不连续的间隙之中。

*与其说无穷小量是一个数值，不如说是一个函数值，当自变量在某一变化过程中该函数值有一直向0靠近的趋势，我们就说该函数值是一个无穷小量，但不管怎么理解，无穷小量都无法严格等同于0

这种巧合其实不难被接受（是被接受，而不是被理解，脑中的数学与现实的物理能如此巧合地契合在一起其实是非常难以被理解的），毕竟在微观物理世界失效的（或者说误差极大的）牛顿力学竟能以一种极其简练的方式来精确地描述宏观物理世界，这难道不也是一种令人震惊的巧合吗？

有人会反驳说：按照你的说法，微积分不就只能用来解释宏观物理现象了吗？难道微积分在量子力学中就没法用了？况且微积分不只可以用来描述自然现象，还能用来描述抽象的数学图像（几何学），还能用来描述社会现象（经济学、社会统计学），作何解释？

我的回答：首先，微积分是数学和物理学家们受宏观物理现象的启发（更准确的说，是为了较好地描述宏观物理中“连续的变化”这一现象）所发明的一种用来思考和计算的工具。正如剪刀一开始是用来裁剪布料的，但不代表它只能用来裁剪布料，它可以用于与“裁剪”这一动作有关的任何事情。微积分也是如此，只要某一现象与宏观物理中的“连续的变化”现象相同或相似，微积分就都可以适用。

虽然在微观物理领域（量子力学领域），那种物理直观上的连续性被打破了，但是“连续的变化”这一思想依然可以继续沿用——这里插一嘴，在人们刚刚涉足量子力学时微积分确实是失效的，人们只能用矩阵来正确描述微观世界，直到薛定谔方程的出现将波的连续性引入到量子力学中——微积分在社会科学中的应用也是如此，只不过是将社会学中的一些变化与宏观物理中的连续变化进行了拟合。

至于“微积分可以用来正确描述抽象的数学图像（几何学）”这一点可以展开谈谈。

我先抛出我的观点：微积分可以用来正确描述抽象的数学图像只是一种错觉。正如现实其实并不存在几何学意义上的真正的圆（几何学的圆只是一种抽象物，现实世界并不存在），我们很容易错把微积分对现实的圆的正确描述，理所当然地当成是对抽象的圆的正确描述。我们对现实中那些实打实的由物质粒子组成的”圆形“进行测量和计算，发现微积分能恰如其分地对其进行描述（这很正常，因为现实的圆就是宏观物理现象，正如我前面的观点，微积分就是用来正确描述宏观物理现象的），就误以为我们对抽象的圆也进行了恰如其分的描述。事实上我们永远无法证明*微积分可以正确描述抽象的数学图像，因为抽象的圆永远无法被“实验”。

*这里所说的证明并非数学意义上的证明（先通过直觉设立若干公理，然后提出命题A，最后从公理出发，用数理逻辑推出命题A），而是物理意义上的证明（提出关于现实物理现象的命题A，然后通过对现实物理现象的观测来验证命题A的准确性）。数学家们可以通过巧妙地设定将微积分与几何学联系在一起（正如解析几何所做的那样，但我们必须意识到这种联系只是出于一种人为的巧妙设定），但那些抽象的数学图像永远存在也只能存在于人的脑中，而无法成为可被实验的对象。

这里还可能存在一种反驳：你在上文提出了三个观点

1、微积分是用来正确描述宏观物理中“连续的变化”这一现象的

2、微积分能被用来正确描述宏观物理现象是源自时间、空间、物质的不连续性

3、只要某一现象与宏观物理中的连续变化现象相同或相似，微积分就都可以适用。

综上三点，岂不是说：一切看起来连续的变化都暗含一种底层的不连续性？

我的回答：首先，我们对“连续性”这一概念的把握完全是来自我们对现实物理世界的感知，那种平滑的连续性只是一种对现实感知的抽象（正如我们对圆的抽象一样），但实际上那种平滑的连续性在现实世界真的存在吗？很显然是不存在的，因为现实世界中一切现象都可以整合到对时间、空间、物质的描述中去，而时间、空间、物质在微观上又是不连续的，因此我们完全可以拥有这样一个信念：现实世界中的一切连续性都是基于一种不连续性*。

*该信念仅适用于现实世界（更准确的来讲是物理世界），我们无法否认数学世界中抽象的连续性的存在

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